设A，B都是n阶矩阵，证明 E－AB可逆E－BA可逆．

admin2020-03-16 24

问题设A，B都是n阶矩阵，证明
E－AB可逆<=>E－BA可逆．

选项

答案用线性方程组的克拉默法则．证明“=>”方向．设E－AB可逆，要证明E－BA可逆，为此只要证明齐次线性方程组(E－BA)X=0只有零解．设η是(E－BA)X=0的解，即η－BAη=0，则Aη－ABAη=0，即(E－AB)Aη=0，由于E－AB可逆，得Aη=0，再从η－BAη=0得η=0．证明完毕． “=>”方向的证明类似．

解析

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