设矩阵，其行列式｜A｜＝－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α＝(－1，－1，1)，求a，b，c和λ0的值．

admin2021-01-19 52

问题设矩阵

，其行列式｜A｜＝－1，又A的伴随矩阵A^*有一个特征值λ₀，属于λ₀的一个特征向量为α＝(－1，－1，1)，求a，b，c和λ₀的值．

选项

答案根据题设有 A^*α＝λ₀α，又A4^*＝｜A｜E＝－E，于是 AA^*α＝Aλ₀α＝λ₀Aα，即－α＝λ₀Aα，也即[*] 由此可得[*] 解此方程组，得 λ₀＝1，b＝－3，a＝c。又由｜A｜＝－1和a＝c，有 [*]＝a－3＝－1．故a＝c＝2．因此 a＝2，b＝－3，c＝2，λ₀＝1．

解析 [分析] 根据题设，有A^*α＝λ₀α，可得三个方程，再加上｜A｜＝－1，共四个方程、四个未知量，应该可以求出四个参数．但是A。的计算相当复杂，而题设已知的是A，这可通过关系式A^*A＝AA^*＝｜A｜E，在等式A^*α＝λ₀α两端同乘以A后得到简化．
[评注] 涉及与伴随矩阵A有关的计算或证明问题，一般都是通过关系式AA^*＝A^*A＝｜A｜E进行分析和讨论，这一点应引起注意．

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考研数学二

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