已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3。若β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解。

admin2018-04-08 87

问题已知四阶方阵A=(α₁，α₂，α₃，α₄)，α₁，α₂，α₃，α₄均为四维列向量，其中α₂，α₃，α₄线性无关，α₁=2α₂一α₃。若β=α₁+α₂+α₃+α₄，求线性方程组Ax=β的通解。

选项

答案由α₁，α₃，α₄线性无关及α₁=2α₂－α₃知，r(α₁，α₂，α₃，α₄)=3，即矩阵A的秩为3。因此Ax=0的基础解系中只包含一个向量。那么由(α₁，α₂，α₃，α₄)[*]=α₁－2α₂+α₃=0知， Ax=0的基础解系是(1，－2，1，0)^T。再由 β=α₁+α₂+α₃+α₄=(α₁，α₂，α₃，α₄)[*] 知，(1，1，1，1)^T是Ax=β的一个特解，故Ax=β的通解是 [*] 其中k为任意常数。

解析

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考研数学一

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已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3。若β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解。

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