设曲线y＝y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切，P(χ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2，求曲线y＝y(χ)．

admin2017-03-06 72

问题设曲线y＝y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切，P(χ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l₁，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l₂，又满足χ(3l₁＋2)＝2(χ＋1)l₂，求曲线y＝y(χ)．

选项

答案由已知条件得y(0)＝0，y′(0)＝0， l₁＝∫₀^χ[*]dχ； P(χ，y)处的切线为y－y＝y′(X－χ)，令X＝0，则Y＝y－χy′，A的坐标为(0，y－χy′)， l₂＝[*]，由χ(3l₁＋2)＝2(χ＋1)l₂得 [*] 两边对χ求导整理得1＋y^′2＝2(χ＋1)y′y〞．令y′＝p，y〞＝[*]，代入得1＋p²－2(χ＋1)p[*]，变量分离得[*]，积分得ln(1＋P²)＝ln(χ＋1)＋lnC₁，即1＋P²＝C₁(χ＋1)，由初始条件得C₁＝1，即p＝±[*]，从而y＝[*]＋C₂，再由y(0)＝0得C₂＝0，故所求的曲线为y²＝[*]χ³．

解析

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考研数学二

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设曲线y＝y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切，P(χ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2，求曲线y＝y(χ)．

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