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设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f’’(x)>0，且又存在点x0，使得f(x0)

admin2017-05-31  65
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f’’(x)>0，且又存在点x0，使得f(x0)<0，试证：方程f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．
选项
答案先证存在性． [*] 于是，可知f(x)在(0，+∞)内单调增加． 任取x∈[M，+∞)，f(x)在[M，x]上连续，在(M，x)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在点ξ∈(M，x)，使得f(x)=f(M)+f’(ξ)(x—M)，于是，[*] 又存在点x0，使得f(x0)＜0．所以，由介值定理，存在点ξ1∈(x0，x)，使得f(ξ1)=0． 同理可证，当x<0时，存在点ξ2∈(x，x0)，使得f(ξ2)=0． 再证唯二性．(反证法) 假若f(x)=0有三个实根ξ1，ξ2，ξ3(ξ1＜ξ2＜ξ3)，由洛尔定理，存在点η1∈(ξ1，ξ2)，η2∈(ξ2，ξ3)，使得f’(η1)=f’(η2)=0． 再由洛尔定理，存在点η∈(η1，η2)，使得f’’(η)=0．与题设f’’(x)>0矛盾，故f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．
解析
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考研数学一

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