设λ1，λ2是矩阵A的两个特征值，且λ1≠λ2，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，Aαλ1，λ2+Aα2线性无关的充分必要条件是( )。

admin2022-03-23 109

问题设λ₁，λ₂是矩阵A的两个特征值，且λ₁≠λ₂，对应的特征向量分别为α₁，α₂，则α₁，Aαλ₁，λ₂+Aα₂线性无关的充分必要条件是( )。

选项 A、λ₁≠0
B、λ₁=0
C、λ₂≠0
D、λ₂=0

答案C

解析由λ₁≠λ₂，知α₁，α₂线性无关，且Aα₁+Aα₂=λ₁α₁+λ₂α₂。
令β=Aα₁+Aα₂=λ₁α₁+λ₂α₂,则(α₁，β)=(α₁，α₂)

若α₁，β线性无关，则r(

)=r(α₁，β)=2,即

≠0,λ₂≠0，反过来，若λ₂≠0，则

≠0,即

可逆。
于是，r(α₁，β)=r(α₁，α₂)=2,即α₁，β线性无关，选C。

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考研数学三

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