2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt． 求证： 若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数．

设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt． 求证： 若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数．

admin2018-06-14  61
问题 设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt．
  求证：
若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数．
选项
答案F(x)在(一∞，+∞)上有定义，且F(x)=2∫0xtf(t)dt一x∫0xf(t)dt，故 F(一x)=2∫0-xtf(t)dt+x∫0-xf(t)dt．作换元t=一u，则当t：0→一x → u：0→x，且dt=一du，代入可得[*]x有 F(一x)=2∫0x(一u)f(一u)(一du)+x∫0xf(一u)(一du) =一2∫0xu[一f(一u)]du+x∫0x[一f(一u)]du =一2∫0xuf(u)du+x∫0xf(u)du=一[2∫0xuf(u)du一x∫0xf(u)du]=一F(x)，这表明F(x)是(一∞，+∞)上的奇函数．
解析
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考研数学三

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