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设f(x)在(一∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt. 求证: 若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.
设f(x)在(一∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt. 求证: 若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.
admin
2018-06-14
62
问题
设f(x)在(一∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=∫
0
x
(2t一x)f(t)dt.
求证:
若f(x)为奇函数,则F(x)也是奇函数.
选项
答案
F(x)在(一∞,+∞)上有定义,且F(x)=2∫
0
x
tf(t)dt一x∫
0
x
f(t)dt,故 F(一x)=2∫
0
-x
tf(t)dt+x∫
0
-x
f(t)dt.作换元t=一u,则当t:0→一x → u:0→x,且dt=一du,代入可得[*]x有 F(一x)=2∫
0
x
(一u)f(一u)(一du)+x∫
0
x
f(一u)(一du) =一2∫
0
x
u[一f(一u)]du+x∫
0
x
[一f(一u)]du =一2∫
0
x
uf(u)du+x∫
0
x
f(u)du=一[2∫
0
x
uf(u)du一x∫
0
x
f(u)du]=一F(x),这表明F(x)是(一∞,+∞)上的奇函数.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/w6W4777K
0
考研数学三
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