2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且，又f(2)＝。

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且，又f(2)＝。

admin2019-12-24  59
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且，又f(2)＝。
选项
答案根据[*]，则[*]，可得f(1)＝－1，又因为 [*] 所以f’(1)＝0。由积分中值定理知，存在一点c∈[1，3／2]，使得 [*] 于是根据罗尔定理，存在x0∈(c，2)[*](1，2)，使得f’(x0)＝0。 令φ(x)＝exf’(x)，则φ(1)＝φ(x0)＝0，再利用罗尔定理得，存在ξ∈(1，x0)[*](0，2)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝ex[f’(x)＋f’’(x)]且ex≠0，所以有f’(ξ)＋f’’(ξ)＝0。
解析 本题先利用等价无穷小化简题目所给极限，然后结合积分中值定理和罗尔定理证明最终结果。
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考研数学三

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