设环境保持恒定温度20℃，有一个热物体在10秒内从温度为100℃降到60℃，问此物体从100℃降到25℃需要多少时间?

admin2019-01-13 51

问题设环境保持恒定温度20℃，有一个热物体在10秒内从温度为100℃降到60℃，问此物体从100℃降到25℃需要多少时间?

选项

答案物体冷却速度与该物体和环境温度之差成正比，设物体在时刻t的温度为u(t)，则有du／dt＝－k[u(t)－T] 其中T为环境温度(假定环境温度恒定不变)，k＞0为比例常数，在本题中T＝20℃，将上述方程变形为 du／dt＋ku＝kT 这是一阶线性常微分方程，通解为 u(t)＝T＋ce^－kt＝20＋ce^－kt初值条件为u(0)＝100，所以c＝80，于是u(t)＝20＋80 e^－kt 物体在10秒内从温度为100℃降到60℃，即 u(10)＝20＋80e^－10k＝60 由此解得k＝1／10ln2，从而u(t)＝20＋80×2^－0.1t 令u(t)＝25，即2^－0.1t＝1／16，由此解得t＝40，即物体从100℃降到25℃需要40秒．

解析

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考研数学二

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