设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=1。证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη—ξ[f(η)+f’(η)]=1。

admin2021-11-09 50

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=1。证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得e^η—ξ[f(η)+f’(η)]=1。

选项

答案设F(x)=e^xf(x)，由已知f(x)及e^x在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此存在ξ，η∈(a，b)，使得 F(b)一F(a)=e^bf(b)一e^af(a)=F’(η)(b一a)=e^η[f’(η)+f(η)](b一a) 及 e^b一e^a=e^ξ(b—a)。将以上两式相比，且由f(a)=f(b)=1，整理后有 e^η—ξ[f(η)+f’(η)]=1。

解析

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考研数学二

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