设函数f在点a的某个邻域内具有二阶导数．证明：对充分小的h，存在θ，0＜θ＜1．使得

admin2022-11-23 45

问题设函数f在点a的某个邻域内具有二阶导数．证明：对充分小的h，存在θ，0＜θ＜1．使得

选项

答案作辅助函数(不妨设h＞0)： F(x)=f(a+x)+f(a-x)-2f(a)．G(x)=x²，x∈[0，h]．因为F(0)=G(0)=0，由柯西中值定理，有 [*] 0＜θ₁＜1．令F₁(x)=f’(a+θ₁x)-f’(a-θ₁x)，F₁(0)=0，在[0，h]上应用拉格朗日中值定理，又有 [*] 记θ=θ₁θ₂， θ₂∈(0，1)．即有结论成立，同理可证h＜0的情形．

解析

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