2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第三列为 (Ⅰ)求A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第三列为 (Ⅰ)求A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-14  146
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第三列为
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。
选项
答案(Ⅰ)由题意知QTAQ=Λ，其中Λ=[*]，则A=QΛQT,设Q的其他任一列向量为(x1，x2，x3)T。因为Q为正交矩阵，所以 [*] 即x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α1=(=1，0，1)T，α2=(0，1，0)T。把α1单位化得β1=[*](-1，0，1)T，所以 [*] (Ⅱ)证明：因为(A+E)T=AT+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。 又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。
解析
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考研数学一

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