设a1，a2，a3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，a1＋a2＝(2，0，－2，4)T，a1＋a3＝(3，1，0，5)T，则Ax＝b的通解为________

admin2022-06-09 102

问题设a₁，a₂，a₃是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，a₁＋a₂＝(2，0，－2，4)^T，a₁＋a₃＝(3，1，0，5)^T，则Ax＝b的通解为________

选项

答案k(1，1，2，1)^T＋(1，0，1，2)^T(k为任意常数)

解析由已知，有
A(a₁＋a₂2)＝1/2(Aa₁＋Aa₂)＝1/2(b＋b)＝b，
故1/2(a₁＋a₂)＝(1，0，－1，2)^T是Ax＝b的一个解
同理，1/2(a₁＋a₂)－(3/2，1/2，0，5/2)^T也是Ax＝b的解
又由于Ax＝0有4－r(A)＝4－3＝1个基础解，且
A[(a₁＋a₃)－(a₁＋a₂)]＝A(a₃－a₂)＝Aa₃－Aa₂＝b－b＝0，
所以
(a₁＋a₃)－(a₁＋a₂)＝(1，1，2，1)^T
是Ax＝0的基础解系，从而Ax＝b的通解为
k(1，1，2，1)^T＋(1，0，－1，2)^T(k为任意常数)

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考研数学二

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