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  3. 设f(χ)＝ (Ⅰ)讨论f(χ)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型； (Ⅱ)判断f(χ)在(－∞，1]是否有界，并说明理由．

设f(χ)＝ (Ⅰ)讨论f(χ)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型； (Ⅱ)判断f(χ)在(－∞，1]是否有界，并说明理由．

admin2020-05-09  105
问题 设f(χ)＝
    (Ⅰ)讨论f(χ)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型；
    (Ⅱ)判断f(χ)在(－∞，1]是否有界，并说明理由．
选项
答案(Ⅰ)当χ≠0，χ≠1时，显然f(χ)连续．在χ＝0处，由 [*] [*]f(χ)在点χ＝0处不连续，且点χ＝0是f(χ)的第一类间断点． 在χ＝1处，由 [*] [*]f(χ)在点χ＝1处既左连续又右连续，于是f(χ)在点χ＝1处连续． 因此f(χ)在(－∞，0)，(0，＋∞)连续，χ＝0是f(χ)的第一类间断点． (Ⅱ)题(Ⅰ)中已证明这个分段函数在(－∞，0]，(0，1]连续，且[*]f(χ)存在，要判断f(χ)在(－∞，1]上的有界性，只需再考察[*]f(χ)，即 [*] 因f(χ)在(－∞，0]连续，又[*]f(χ)存在[*]f(χ)在(－∞，0]有界．f(χ)在(0，1]连续，又[*]f(χ)存在[*]f(χ)在(0，1]有界．因此f(χ)在(－∞，1]有界．
解析
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考研数学二

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