2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，则方程2x—∫0xf(t)dt=1在(0，1)内实根的个数是_______．

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，则方程2x—∫0xf(t)dt=1在(0，1)内实根的个数是_______．

admin2015-09-06  66
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，则方程2x—∫0xf(t)dt=1在(0，1)内实根的个数是_______．
选项
答案1
解析 设F(x)=2x—∫0xf(t)dt一1，则
    F(0)=一1＜0，F(1)=1—∫01f(t)dt＞1-∫01dt=0．
由闭区间上连续函数的性质——介值定理可知，F(x)在(0，1)内至少有一个零点．
    又因
    F’(x)=2一f(x)＞0，
故F(x)在(0，1)内为严格单调增函数，从而F(x)=0，即2x—∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．
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