证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．

admin2015-07-22 64

问题证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．

选项

答案设A=[α₁，α₂，…，α_n]，B=[β₁，β₂，…，β_n]，则 A+B=[α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n]．由于A+B的列向量组α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n都是由向量组α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_n线性表出的，故 r(α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n)≤r(α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_n)．又由于 r(α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_n)≤r(α₁，α₂，…，α_n)+r(β₁，β₂，…，β_n)，故 r(A+B)=r(α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n) ≤r(α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_n) ≤r(α₁，α₂，…，α_n)+r(β₁，β₂，…，β_n) =r(A)+r(B)．

解析

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考研数学三

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