设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2014-11-26 171

问题设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt．
(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a²一1时，求函数f(x)．

选项

答案(Ⅰ)F(x)=∫_-a^a|x-t|f(t)dt=∫_-a^x(x—t)f(t)dt+∫_x^a(t一x)f(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt+∫_x^atf(t)dt-x∫_x^af(t)dt=x∫_-a^xf(t)dt-∫_-a^atf(t)dt-∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt F’(x)=∫_-a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x)=∫_a^xf(t)dt—∫_t^af(t)dt 因为F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫_-a⁰f(x)dx—∫₀^a∫(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F"(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)=∫_-a^a|t|f(t)dt=2∫₀^atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe^∫-2xdxdx+C]e^-∫-2xdx=[*]一1，在2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]一1．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/ue54777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

考研数学一

已知问λ取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表出．

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组2α1+α3+α4，α2-α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是()．

已知α=[1，2，3]，β=[1，1/2，1/3]，A=αTβ，若A满足方程A32λA2-λ2A=0，求解其中λ的取值．

证明：矩阵相似且合同．

A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，证明：

设Am×n，r(A)=m，Bn×(n-m)，r(B)=n-m，且满足关系式AB=O．证明：若η是齐次线性方程组Ax=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

设F(u，v)可微，y=y(x)由方程F[xex+y,f(xy)]=x2+y2所确定，其中f(x)是连续函数且满足关系式∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，x，y＞0，又f(1)=1，求：．

求下列极限：

已知(1，-1，1，-1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足x2=x3的全部分．

邓小平指出实现四个现代化的根本前提是()

引起“披纱”征或“狗耳”征的伪像是

A．病毒性肺炎B．金黄色葡萄球菌性肺炎C．肺隐球菌病D．气管、支气管淀粉样变E．支气管内膜结核伴肺不张最易引起胸膜病变的是

挥发油采用溶剂提取法时，通常选用的溶剂为

下列污水好氧生物处理方法中，属于生物膜法的有()。

根据《会计基础工作规范》的规定，下列应该实行会计人员回避制度的单位包括()。

态度的情感成分是伴随态度的认知成分而产生的情绪或情感体验，是()。

Fromtheearliesttimes,manhasbeeninterestedinart.Peoplehaveoftenworkedtogethertocollectandsavetheworld’sartt

在一定时期内，流通中所需要的货币量取决于下列哪些因素?()