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设抛物线y=χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0). (Ⅰ)求S=S(a)的表达式; (Ⅱ)当a取何值时,面积S(a)最小?
设抛物线y=χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0). (Ⅰ)求S=S(a)的表达式; (Ⅱ)当a取何值时,面积S(a)最小?
admin
2017-03-06
66
问题
设抛物线y=χ
2
与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a
2
)(a>0).
(Ⅰ)求S=S(a)的表达式;
(Ⅱ)当a取何值时,面积S(a)最小?
选项
答案
(Ⅰ)设另一个切点为(χ
0
,χ
0
2
),则抛物线y=χ
2
的两条切线分别为 L
1
:y=2aχ-a
2
, L
2
:y=2χ
0
χ-χ
0
2
. 因为L
1
⊥L
2
,所以χ
0
=-[*],两条切线L
1
,L
2
的交点为χ
1
=[*],y
1
=aχ
0
,L
1
,L
2
及抛物线y=χ
2
。所围成的面积为 [*] (Ⅱ)S′(a)=[*]=0,得a=[*]. 因为当a∈(0,[*])时,S′(a)<0, 当a>[*]时,S′(a)>0, 所以当a=[*]时,面积S(a)取最小值.
解析
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考研数学二
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