设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=2B，CAT=2C其中证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．

admin2021-07-27 69

问题设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=2B，CA^T=2C其中

证明：对任何3维向量ξ，A¹⁰⁰ξ与ξ必线性相关．

选项

答案因Aβ_i=-2β_i(i=1，2)，故A¹⁰⁰β_i=(-2)¹⁰⁰β_i=2¹⁰⁰β_i(i=1，2)．因Aα₁=2α₁，故A¹⁰⁰α₁=2¹⁰⁰α₁．对任意的3维向量ξ，因β₁，β₂，α₁线性无关，ξ可由β₁，β₂，α₁线性表示，且表示法唯一．设ξ=μ₁β₁+μ₂β₂+μ₃α₁，则A¹⁰⁰ξ=A¹⁰⁰(μ₁β₁+μ₂β₂+μ₃α₁)=μ₁A¹⁰⁰β₁+μ₂A¹⁰⁰β₂+μ₃A¹⁰⁰α₁=μ₁2¹⁰⁰β₁+μ₂2¹⁰⁰β₂+μ₃2¹⁰⁰α₁=2¹⁰⁰(μ₁β₁+μ₂β₂+μ₃α₁)=2¹⁰⁰ξ．得证A¹⁰⁰ξ和ξ成比例，A¹⁰⁰ξ和ξ线性相关．

解析

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考研数学二

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