某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)。汽锤第一次击打将桩打进地下a米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功

admin2017-01-14 74

问题某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)。汽锤第一次击打将桩打进地下a米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)。问
(Ⅰ)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?
(Ⅱ)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?

选项

答案(Ⅰ)设第n次击打后，桩被打进地下x_n米，第n次击打时，汽锤所做的功为W_n(n=1，2，3，…)。由题设，当桩被打进地下的深度为x米时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以 [*] 由W₂=rW₁可得 [*] 由W₃=rW₂=r²W₁可得 [*] 即汽锤击打3次后，可将桩打进地下[*]米。 (Ⅱ)由归纳法，设[*]，则 [*] 由于W_n+1=rW_n=r²W_n-1=…=rⁿW₁，故 [*] 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下[*]米。

解析

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考研数学一

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考研数学一

[*]

5

在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别等1，2，3路公共汽车．设每个人等车时间(单位：min)均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两人等车时间不超过2min的概率．

设A为n阶非零矩阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A=AT时．证明丨A丨≠0．

互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件之间的关系：x>20与x≤20；

设有一半径为R的球体，P0是球面一定点，球体上任意一点的密度与该点到P0的距离平方成正比(比例常数k>0)，求球体的重心的位置．

计算曲面积分2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy，其中∑是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=，b=时，统计量X服从X2分布，其自由度为___．

求不定积分csc3xdx.

设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P{丨X-μ1丨P{丨Y-μ2丨

媒介效果一致论的理论基础，是所谓的＿＿＿＿＿＿的观点。

具有镇心安神，清热养血功用的方剂是

女性，65岁，有刺激性咳嗽，偶有胸闷，午后低热，37．5℃左右，伴盗汗，乏力等。查体：无明显异常。胸片示纵隔明显增宽。血常规检查正常。血沉60mm／h。结核菌素试验弱阳性。可能的诊断是

工业废水处理中，离子交换方法属于()。

发散思维是创造性思维的核心。()

(2010年单选24)下列关于我国村民委员会的表述，正确的是()。

Adayhas24hours.______24hoursinaday.

【B1】【B18】

考研数学一

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5

在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别等1，2，3路公共汽车．设每个人等车时间(单位：min)均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两人等车时间不超过2min的概率．

设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A*=AT时．证明丨A丨≠0．

互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件之间的关系：x>20与x≤20；

设有一半径为R的球体，P0是球面一定点，球体上任意一点的密度与该点到P0的距离平方成正比(比例常数k>0)，求球体的重心的位置．

计算曲面积分2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy，其中∑是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=__________，b=____________时，统计量X服从X2分布，其自由度为_____________．

求不定积分csc3xdx.

设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P{丨X-μ1丨P{丨Y-μ2丨

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具有镇心安神，清热养血功用的方剂是

女性，65岁，有刺激性咳嗽，偶有胸闷，午后低热，37．5℃左右，伴盗汗，乏力等。查体：无明显异常。胸片示纵隔明显增宽。血常规检查正常。血沉60mm／h。结核菌素试验弱阳性。可能的诊断是

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(2010年单选24)下列关于我国村民委员会的表述，正确的是()。

Adayhas24hours.______24hoursinaday.

【B1】【B18】

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设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=，b=时，统计量X服从X2分布，其自由度为___．