设三阶矩阵A的特征值是0，1，—1，则下列选项中不正确的是( )

admin2019-05-15 52

问题设三阶矩阵A的特征值是0，1，—1，则下列选项中不正确的是( )

选项 A、矩阵A—E是不可逆矩阵。
B、矩阵A+E和对角矩阵相似。
C、矩阵A属于1与—1的特征向量相互正交。
D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。

答案C

解析因为矩阵A的特征值是0，1，—1，所以矩阵A—E的特征值是—1，0，—2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆。
因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化。(或由A～Λ

A+E～Λ+E而知A+E可相似对角化)。
由矩阵A有一个特征值等于0可知，r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成。
C选项的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交，故选C。

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考研数学一

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