2. 考研
  3. 设平面区域D={（x，y）}x3≤y≤1，—1≤x≤1}，f（x）是定义在[—a，a]（a≥1）上的任意连续函数，则2y[（a+1）f（x）+（a—1）f（—x）]dxdy=________．

设平面区域D={（x，y）}x3≤y≤1，—1≤x≤1}，f（x）是定义在[—a，a]（a≥1）上的任意连续函数，则2y[（a+1）f（x）+（a—1）f（—x）]dxdy=________．

admin2020-08-04  89
问题 设平面区域D={（x，y）}x3≤y≤1，—1≤x≤1}，f（x）是定义在[—a，a]（a≥1）上的任意连续函数，则2y[（a+1）f（x）+（a—1）f（—x）]dxdy=________．
选项
答案0．
解析 令F(x)=(x+1)f(x)+(x—1)f(—x)
则 F(—x)=(—x+1)f(—x)+(—x—1)f(x)
=一[(x—1)f(—x)+(x+1)f(x)]=一F（x）
即F（x）为奇函数
[（x+1）f(x）+（x一1）f(一x）] dxdy
=∫—1’[（x+1）f(x）+（x一1）f(一x）]dx∫x312ydy
=∫—11(1—x6)F（x）dx=0
其中1—x6为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零．
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考研数学三

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