设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F"’(c)=0．

admin2017-10-23 75

问题设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x²f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F"’(c)=0．

选项

答案由于F(0)=F(1)=0，F(x)在[0，1]可导，故存在ξ₁∈(0，1)使得F’(ξ₁)=0．又 F’(x)=x²f’(x)+2xf(x)，于是由F’(0)=0，F’(ξ₁)=0及F’(x)在[0，1]可导知，存在ξ₂∈(0，ξ₁)使得F"(ξ₂)=0．又因 F"(x)=x²f"(x)+4xf’(x)+2f(x)，于是由F"(0)=F"(ξ₂)=0及F"(x)在[0，1]可导知，存在c∈(0，ξ₂)[*](0，1)使得F"(c)=0．

解析

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考研数学三

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