2. 考研
  3. 设f(x)在[A，B]上连续，A＜a＜b＜B，求证：

设f(x)在[A，B]上连续，A＜a＜b＜B，求证：

admin2018-06-14  53
问题 设f(x)在[A，B]上连续，A＜a＜b＜B，求证：
选项
答案当x∈[a，b]，｜h｜充分小时，x+h∈[A，B]，因而f(x+h)一f(x)在[a，b]上连续．对 ∫abf(x+h)dx作积分变量替换，则有 ∫ab[f(x+h)一f(x)]dx[*]∫a+hb+hf(t)dt一∫abf(t)dt=∫ab+hf(t)dt一∫aa+hf(t)dt． 由于上式每一项对h可导且h→0时均趋于零．因此，由洛必达法则有 [*]
解析 下面的证法对吗?
    左端=∫ab=∫abf’(x)dx=f(b)一f(a)=右端．
    不对!错在哪里?错在：1°把极限运算移进积分号内(即交换积分与极限运算的顺序)没有根据；2°题设中没有假设f(x)可导，因此得不到

    正确证法应该是通过变量替换把∫ab[f(x+h)一f(x)]dx转化为变限积分，然后用洛必达法则求型极限．
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考研数学三

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