设f(x)在[0,1]上可导，F(x)=∫0xt2f(t)dt，且F(1)=f(1)，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得.

admin2022-09-05 101

问题设f(x)在[0,1]上可导，F(x)=∫₀^xt²f(t)dt，且F(1)=f(1)，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得

选项

答案由积分中值定理得:存在η∈[0,x],使F(x)=∫₀^xt²f(t)dt=η²f(η)工,从而 F(1)=η²f(η)= f(1). 设G(x)=x²f(x),则G(1)= f(1),而G(η)=η² f(η)=f(1),从而G(1)=G(η). 对函数G(x)在[η,1][*][0,1]上使用罗尔定理得至少存在一点ξ∈(0,1)，使得 [*]

解析

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