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(1999年)试证:当x>0时,(x2一1)lnx≥(x一1)2。
(1999年)试证:当x>0时,(x2一1)lnx≥(x一1)2。
admin
2018-03-11
89
问题
(1999年)试证:当x>0时,(x
2
一1)lnx≥(x一1)
2
。
选项
答案
方法一:令f(x)=(x
2
一1)lnx一(x一1)
2
,易知f(1)=0。又 [*] 可见,当0<x<1时,f
(3)
(x)<0,故f"(x)单调递减;当1<x<+∞时,f
(3)
(x)>0,故f"(x)单调递增。 因此,f"(1)=2为f"(x)的最小值,即当0
0,所以f′(x)为单调增函数。 又因为f′(1)=0,所以当0<x<1时f′(x)<0;当1<x<+∞)时f′(x)>0,所以利用函数单调性可知,f(1)为f(x)的最小值,即f(x)≥f(1)=0。 所以当x>0时,(x
2
一1)lnx≥(x一1)
2
。 方法二:先对要证的不等式作适当变形,当x=1时,原不等式显然成立; 当0<x<1时,原不等式等价于[*] 当1<x<+∞时,原不等式等价于[*] 令[*]则 [*] 又因为f(1)=0,利用函数单调性可知: 当0<x<1时,f(x)<0,即[*]当1<x<+∞时,f(x)>0,即[*] 综上所述,当x>0时,(x
2
一1)lnx≥(x一1)
2
。
解析
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考研数学一
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