设A是m×n矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是( )．

admin2016-03-26 65

问题设A是m×n矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是( )．

选项 A、若AB=O，则B=O
B、对任意矩阵B，有r(AB)=R(B)
C、存在B，使得BA=E
D、对任意矩阵B，有r(BA)=r(B)

答案D

解析因为r(A)=n，所以方程组AX=0只有零解，而由AB=O得B的列向量为方程
组AX=0的解，故若AB=O，则B=O；
令BX=0，ABX=0为两个方程组，显然若BX=0，则ABX=0，反之，若ABX=0，
因为r(A)=n，所以方程组AX=0只有零解，于是BX=0，即方程组BX=0与ABX=0为同解方程组，故r(AB)=r(B)；
因为r(A)=n，所以A经过有限次初等行变换化为

，即存在可逆矩阵P使得PA=

，令B=(E_nO)P，则BA=E；
令A=

，B=(1 1 1)，r(A)=1，但r(BA)=0≠r(B)=1，选(D)．

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考研数学三

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