若x＞-1，证明：当0＜a＜1时，有(1+x)q＜1+ax；当a＜0或a＞1时，有(1+x)a＞1+ax

admin2016-07-22 31

问题若x＞-1，证明：当0＜a＜1时，有(1+x)^q＜1+ax；当a＜0或a＞1时，有(1+x)^a＞1+ax

选项

答案令f(x)=(1+x)^a则有f’(x)=a(1+x)^a-1，f’’(x)=a(a-1)(1+x)^a-2，由f(x)的泰勒展开式f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]x²，ξ∈(0，1)，可知当x＞-1，0＜a＜1时，a(a-1)＜0，1+ξ＞0．故[*]＜0，所以f(x)＜f(0)+f’(0)x，即 (1+x)^a＜1+ax 同理可证当x＞-1，a＜0或a＞1时，有(1+x)^a＞1+ax．

解析

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考研数学一

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