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  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)=,f(1)=1，f’(1)=1，证明： (I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=ξ； (Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)+f’(η)一η=1·

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)=,f(1)=1，f’(1)=1，证明： (I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=ξ； (Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)+f’(η)一η=1·

admin2020-09-23  57
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)=,f(1)=1，f’(1)=1，证明：
(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=ξ；
(Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)+f’(η)一η=1·
选项
答案(I)取F(x)=f(x)一[*]，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，F(0)=f(0)=[*]，F(1)=f(1)一[*]由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得 F’(ξ)=[f’(x)一x]|x=ξ=0，即f’(ξ)=ξ． (Ⅱ)取G(x)=[f’(x)一x]ex，则G’(x)=[f”(x)+f’(x)一x—1]ex， 显然G(x)在[ξ，1]上连续，在(ξ，1)内可导，G(ξ)=G(1)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ，1)[*](0，1)，使得 G’(η)=[f”(η)+f’(η)一η一1]eη=0，即f”(η)+f’(η)一η=1．
解析
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考研数学一

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