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  3. 设随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．50(χ)＋0．5Ф()，其中Ф(χ)为标准正态分布函数，则EX＝_______．

设随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．50(χ)＋0．5Ф()，其中Ф(χ)为标准正态分布函数，则EX＝_______．

admin2019-05-22  168
问题 设随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．50(χ)＋0．5Ф()，其中Ф(χ)为标准正态分布函数，则EX＝_______．
选项
答案2
解析 X的概率密度为：
    f(χ)＝F′(χ)＝0．5φ(χ)＋0．5φ，
    其中φ(χ)＝为标准正态分布的概率密度，则
    EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝0．5∫－∞＋∞χφ(χ)dχ＋∫－∞＋∞χφ()dχ
    而∫－∞＋∞χφ(χ)dχ＝0，做积分变量代换：y＝，可得
    ∫－∞＋∞χφ()dχ＝∫－∞＋∞(2y＋4)φ(y)2dy＝4∫－∞＋∞yφ(y)dy＋8∫－∞＋∞φ(y)dy＝0＋8＝8
    故EX＝O．5×0＋×8＝2。
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