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  3. 已知齐次线性方程组(I)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为 求方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ)的基础解系线性表示．

已知齐次线性方程组(I)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为 求方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ)的基础解系线性表示．

admin2018-11-11  103
问题 已知齐次线性方程组(I)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为
              
求方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ)的基础解系线性表示．
选项
答案由上题解得方程组(I)的基础解系η1，η2．于是，方程组(I)的通解为 k1η1+k2η2=k1[2，一1，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T(k1，k2为任意常数)． 由题设知，方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1，ξ2，其通解为 ι1ξ1+ι2ξ2=ι1[一1，1，2，4]T+ι2[1，0，1，1]T(ι1，ι2为任意常数)． 为求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解，令它们的通解相等，即 k1[2，一1，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T=ι1[一1，1，2，4]T+ι2[1，0，1，1]T． 从而得到关于k1，k2，ι1，ι2的方程组 [*] 对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得 [*] 由此可得，k1=k2=ι2，ι1=0．所以，令k1=k2=k，方程组(I)，(Ⅱ)的非零公共解是 k[2，一1，1，0]T+k[一1，1，0，1]T=k[1，0，1，1]T(k为任意非零常数)． 并且方程组(I)，(Ⅱ)的非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ)的基础解系线性表示为k(ηi+η2)和kξ2．
解析
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考研数学二

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