证明：已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．

admin2016-03-05 68

问题证明：已知λ₁，λ₂，λ₃是A的特征值，α₁,α₂,α₃是相应的特征向量且线性无关，如α₁+α₂+α₃仍是A的特征向量，则λ₁=λ₂=λ₃．

选项

答案若α₁+α₂+α₃是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即A(α₁+α₂+α₃)=λ(α₁+α₂+α₃)．又A(α₁+α₂+α₃)=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃，于是有(A—λ₁)α₁+(A—λ₂)α₂+(A—λ₃)α₃=0．因为α₁，α₂，α₃线性无关，故λ一λ₁=0，λ一λ₂=0，λ—λ₃=0．即λ₁=λ₂=λ₃．

解析

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考研数学二

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