设f(x)在[0，+∞)上非负连续，且f(x)∫0xf(x-t)dt=2x3，则f(x)=________．

admin2021-10-18 69

问题设f(x)在[0，+∞)上非负连续，且f(x)∫₀^xf(x-t)dt=2x³，则f(x)=________．

选项

答案2x

解析 ∫₀^xf(x-t)dt→∫₀^xf(u)(-du)=∫₀^xf(u)du，令F(x)=∫₀^xf(u)du，由f(x)∫₀^xf(x-t)dt=2x³，得f(x)∫₀^xf(u)du=2x³，即d/dx[1/2F²(x)]=2x³，则F²(x)=x⁴+C₀．因为F(0)=0，所以C₀=0，又由F(x)≥0，得F(x)=x²，故f(x)=2x．

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