2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4，β为四维列向量， A=[α1，α2，α3，α4]， 已知Ax=β的通解为 X=[1，一1，2，1]T+k1[1，2，0，1]T+k2[一1，1，1，0]T， ① 其中[1，2，0，1]T，[一

设α1，α2，α3，α4，β为四维列向量， A=[α1，α2，α3，α4]， 已知Ax=β的通解为 X=[1，一1，2，1]T+k1[1，2，0，1]T+k2[一1，1，1，0]T， ① 其中[1，2，0，1]T，[一

admin2015-12-22  109
问题 设α1，α2，α3，α4，β为四维列向量，
    A=[α1，α2，α3，α4]，
    已知Ax=β的通解为
    X=[1，一1，2，1]T+k1[1，2，0，1]T+k2[一1，1，1，0]T，    ①
    其中[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T为对应齐次方程组的基础解系，k1，k2为任意常数．令B=[α1，α2，α3]，试求BY=β的通解．
选项
答案为求BY=β的特解，只需找出β用B的列向量α1，α2，α3的线性表示式；为求BY=0的基础解系，只需找出B的列向量之间等于0的线性组合表示式． 如何求得向量之间的这些线性表示式? 现有的条件[1，一1，2，1]T为Ax=β的一特解，这就告诉我们β可用A的一个列向量组线性表示．又已知Ax=0的两个解[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T，这就告诉我们A的列向量之间的两个等于0的线性组合．有了这些条件，刚才提出的问题就可以解决． 解 由式①知，[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T为Ax=0的基础解系，[1，一1，2，1]T为Ax=β的一特解，故 n一秩(A)=4一秩(A)=2， 即 秩(A)=2， 且有 β=α1一α2+2α3+α4， α1+2α2+Oα3+α4=0， 一α1+α2+α3+0α4=0． 于是有 α3=α1一α2，α4=一α1一2α2． 因秩(A)=秩(α1，α2，α3，α4)=2，故α1，α2线性无关，从而秩(B)=秩(α1，α2，α3)=2．由 β=2α1—5α2+0α3． 易知[2，一5，0]T为BY=β的特解．又n=3，n一秩(B)=3—2=1，故BY=β的基础解系只含一个解向量． 由α1一α2一α3=0知，[1，一1，一1]T为BY=0的非零解，可作为基础解系，故BY=β的通解为 y=[2，5，0]T+k[1，一1，一1]T，其中k为任意常数．
解析
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考研数学二

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