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已知α1=(1，2，1)T，α2=(1，1，a)T分别是三阶实对称不可逆矩阵A的属于特征值λ1=1与λ2=-1的特征向量。若β=(8，0，10)T，试求Akβ。
已知α1=(1，2，1)T，α2=(1，1，a)T分别是三阶实对称不可逆矩阵A的属于特征值λ1=1与λ2=-1的特征向量。若β=(8，0，10)T，试求Akβ。
admin
2016-02-27
63
问题
已知α
1
=(1，2，1)
T
，α
2
=(1，1，a)
T
分别是三阶实对称不可逆矩阵A的属于特征值λ
1
=1与λ
2
=-1的特征向量。若β=(8，0，10)
T
，试求A
k
β。
选项
答案
由A不可逆可知，A有特征值λ
3
=0，设特征值0对应的特征向量为α
3
=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
。注意到A为实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，故由α
1
T
·α
2
=0，α
1
T
·α
3
=0，α
2
T
·α
3
=0可得 [*] 解得a=-3，x
1
=7x
3
，x
2
=-4x
3
。 令α
3
=(7，-4，1)
T
，将β写成α
1
，α
2
，α
3
的线性组合，由初等行变换 (α
1
，α
2
，α
3
，β) [*] 可得 β=3α
1
-2α
2
+α
3
。 由A
k
α
i
=λ
i
k
α
i
(i=1，2，3)得到 A
k
β=A
k
(3α
1
-2α
2
+α
3
) =3A
k
α
1
-2A
k
α
2
+A
k
α
3
=3λ
1
k
α
1
-2λ
2
k
α
2
=3α
1
-2(-1)
k
α
2
=(3+2(-1)
k+1
，6+2(-1)
k+1
，3+6(-1)
k
)
T
， 其中k为正整数。
解析
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考研数学二
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