2. 考研
  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

admin2018-05-25  67
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．
选项
答案[*]
解析 由∫0xtf(2x－t)dt∫x2x(2x－u)f(u)(－du)
    =∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du
得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2，等式两边对x求导得
  2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=
  整理得
  2∫x2xfud(u)－xf(x)=
取x=1得2∫12f(u)du－f(1)=
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考研数学三

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