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  3. 设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数，an=f(k)－∫1nf(x)dx(n=1，2，…)，证明数列{an}的极限存在。

设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数，an=f(k)－∫1nf(x)dx(n=1，2，…)，证明数列{an}的极限存在。

admin2018-04-14  103
问题 设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数，an=f(k)－∫1nf(x)dx(n=1，2，…)，证明数列{an}的极限存在。
选项
答案利用单调有界必有极限的准则来证明。先将an形式化简，因为 ∫1nf(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫n－1nf(x)dx=[*]∫kk+1f(x)dx， 所以an [*] =[*]∫kk+1[f(k)－f(x)]dx+f(n)， 又因为f(x)单调减少且非负，k≤x≤k+1，所以有 [*] 故an≥0； 又因为 an+1－an=[[*]f(k)－∫1n+1f(x)dx]－[[*]f(k)－∫1nf(x)dx] =[[*]f(k)]－[∫1n+1f(x)dx－∫1nf(x)dx] =f(n+1)－∫nn+1f(x)dx=∫nn+1[f(n+1)－f(x)]dx≤0， 所以{an}单调减少，因为单调有界数列必有极限，所以[*]an存在。
解析
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考研数学二

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