2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且满足关系式xf(x)=x4－3x3+4+∫2xf(t)dt，求f’(x)和f(x)．

设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且满足关系式xf(x)=x4－3x3+4+∫2xf(t)dt，求f’(x)和f(x)．

admin2022-06-08  48
问题 设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且满足关系式xf(x)=x4－3x3+4+∫2xf(t)dt，求f’(x)和f(x)．
选项
答案将所给关系式两端同对关于x求导，可得 f(x)+xf’(x)=6x3－6x+f(x)， 因此 xf’(x)=6x3－6x， f’(x)=6x2－6， f(x)=∫f’(x)dx=∫(6x2－6)dx=2x3－6x+C．(*) 依题设，有xf(x)=[*]x4－3x2+4+∫2xf(t)dt，令x=2可得 2f(2)=24－12+4=16，f(2)=8． 将x=2代入(*)式，有f(2)=16－12+C，所以 C=4，f(x)=2x3－6x+4．
解析
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经济类联考综合能力

专业硕士

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