2. 考研
  3. 设有级数 (Ⅰ)求此级数的收敛域； (Ⅱ)证明此级数的和函数y(χ)满足微分方程y〞－y＝－1； (Ⅲ)求微分方程y〞－y＝－1的通解，并由此确定该级数的和函数y(χ)．

设有级数 (Ⅰ)求此级数的收敛域； (Ⅱ)证明此级数的和函数y(χ)满足微分方程y〞－y＝－1； (Ⅲ)求微分方程y〞－y＝－1的通解，并由此确定该级数的和函数y(χ)．

admin2017-11-09  76
问题 设有级数
    (Ⅰ)求此级数的收敛域；
    (Ⅱ)证明此级数的和函数y(χ)满足微分方程y〞－y＝－1；
    (Ⅲ)求微分方程y〞－y＝－1的通解，并由此确定该级数的和函数y(χ)．
选项
答案(Ⅰ)对于任意χ，有 [*] 所以收敛域为(－∞，＋∞)． (Ⅱ)应用幂级数和函数的性质证明： y(χ)＝2＋[*]，χ∈(－∞，＋∞) [*] 即y(χ)满足微分方程y〞－y＝－1． (Ⅲ)y〞－y＝0的特征方程r2－1＝0的特征根为r＝±1，于是对应齐次方程的通解为Y＝C1eχ＋C2e－χ，又特解为y*＝－1，故y〞－y＝－1的通解为y＝C1eχ＋C2e－χ＋1． 又幂级数的和函数y(χ)满足y〞(χ)－y(χ)＝－1，且y(0)＝2，y′＝(0)＝0，则y(χ)即为微分方程y〞－y＝－1满足初值条件y｜χ＝0＝2，y′｜χ＝0＝0的特解， 即[*]则C1＝C2＝[*]． 所以和函数y(χ)＝[*]＋1．
解析
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考研数学三

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