设α是n维单位列向量，A＝E一ααT．证明：r(A)＜n．

admin2020-03-05 34

问题设α是n维单位列向量，A＝E一αα^T．证明：r(A)＜n．

选项

答案A²＝(E一αα^T)(E一αα^T)＝E一2αα^T＋αα^T.αα^T，因为α为单位列向量，所以α^Tα＝1，于是A²＝A．由A(E－A)＝0得r(A)＋r(E－A)≤n，又由r(A)＋r(E－A)≥r[A＋(E—A)]＝r(E)＝n，得r(A)＋r(E—A)＝n．因为E一A＝αα^T≠0，所以r(E—A)＝r(αα^T)＝r(α)＝1，故r(A)＝n一l＜n．

解析

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考研数学一

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