设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A＋B的特征值全大于a＋b．

admin2017-10-19 74

问题设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A＋B的特征值全大于a＋b．

选项

答案设λ为A＋B的任一特征值，则有X≠0，使 (A＋B)X＝λX，故有(A＋B)X－(a＋b)X＝λX－(a＋b)X 即[(A－aE)＋(B－bE)]X＝[λ－(a＋b)]X 故λ－(a＋b)为(A－aE)＋(B－bE)的特征值，由已知条件易知A－aE及B－bE都是正定矩阵．故(A—aE)＋(B－bE)正定，因而它的特征值全大于0，因此有λ－(a＋b)＞0，[*]λ＞a＋b．

解析

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