已知n维向量α1，α2，α3线性无关，且向量β可由α1，α2，α3中的任何两个向量线性表出，证明β＝0．

admin2018-06-12 79

问题已知n维向量α₁，α₂，α₃线性无关，且向量β可由α₁，α₂，α₃中的任何两个向量线性表出，证明β＝0．

选项

答案因为β可由α₁，α₂，α₃中的任何两个向量线性表出，故可设 β＝χ₁α₁＋χ₂α₂， ① β＝y₂α₂＋y₃α₃， ② β＝z₁α₁＋z₃α₃． ③ ①一②：χ₁α₁＋(χ₂－y₂)α₂－y₃α₃＝0， ①一③：(χ₁－z₁)α₁＋χ₂α₂－z₃α₃＝0．因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以 χ₁＝0，χ₂－y₂＝0，y₃＝0，χ₁－z₁＝0，χ₂＝0，z₃＝0．从而χ₁＝χ₂＝y₂＝y₃＝z₁＝z₃＝0．故β＝0．

解析

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考研数学一

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