设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．

admin2020-07-31 115

问题设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．

选项 A、若A²～B²，则A～B
B、矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等
C、若A，B的特征值相同，则A～B
D、若A～B，且A可相似对角化，则B可相似对角化

答案D

解析由A～B得A，B的特征值相同，设为λ₁，λ₂，…，λ_n，且存在可逆矩阵P₁，使得P₁^-1AP₁＝B，即A＝P₁BP₁^-1；
因为A可相似对角化，所以存在可逆矩阵P₂，使得P₂^-1AP₂＝

，
即A＝P₂

P₂^-1，于是有
P₁BP₁^-1＝P₂

P₂^-1，或P₂^-1P₁BP₁^-1P₂＝

，
取P＝P₁^-1P₂，则P^-1BP＝

，即B可相似对角化．故选D

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