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已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
admin
2020-09-25
62
问题
已知向量组α
1
，α
2
，…，α
s
(s≥2)线性无关，设β
1
=α
1
+α
2
，β
2
=α
2
+α
3
，…，β
s-1
=α
s-1
+α
s
，β
s
=α
s
+α
1
，讨论向量组β
1
，β
2
，…，β
s
的线性相关性．
选项
答案
设有关系式k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0，即k
1
(α
1
+α
2
)+k
2
(α
2
+α
3
)+…+k
s
(α
s
+α
1
)=0，则有(k
1
+k
s
)α
1
+(k
1
+k
2
)α
2
+…+(k
s-1
+k
s
)α
s
=0， 因α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，所以[*] 因为齐次线性方程组的系数行列式为 [*] 所以，当s为奇数时，齐次线性方程组只有零解，从而可得k
1
=k
2
=…=k
s
=0，即向量组β
1
，β
2
，…，β线
s
性无关；当s为偶数时，齐次线性方程组有非零解，从而可知存在不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
s
使k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0，即向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/rJx4777K
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考研数学三
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