已知随机变量X的分布函数FX(x)=(λ＞0)，Y=lnX． (Ⅰ)求Y的概率密度fY(Y)； (Ⅱ)计算P{Y≥k}．

admin2021-11-15 5

问题已知随机变量X的分布函数F_X(x)=

(λ＞0)，Y=lnX．
(Ⅰ)求Y的概率密度f_Y(Y)；
(Ⅱ)计算

P{Y≥k}．

选项

答案(Ⅰ)由题设知X的概率密度f_X(x)=[*]所以Y的分布函数 F_Y(y)=P{Y≤y}=P{lnX≤y}(y∈R)．由于P{X＞1}=1，故当y≤0时F_Y(y)=0；当y＞0时， F_Y(y)=P{1＜X＜e^y}=[*]λx^－λ－1dx=1一e^－λy．于是[*]故Y=lnX的概率密度 [*] (Ⅱ)P{Y≥k}=[*]λe^－λydy=e^－λk，由于λ＞0，0＜e^－λ＜1，故 [*]

解析

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考研数学一

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