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已知线性方程组 的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，试写出线性方程组 的通解，并说明理由．
已知线性方程组 的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，试写出线性方程组 的通解，并说明理由．
admin
2019-12-26
71
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为(b
11
，b
12
，…，b
1,2n
)
T
，试写出线性方程组
的通解，并说明理由．
选项
答案
设方程组(I)与(Ⅱ)的系数矩阵分别为A和B，则由(I)的基础解系可知AB
T
=O，于是BA
T
=(AB
T
)
T
=O，所以A的n个行向量的转置也是方程组(Ⅱ)的n个解向量． 由于(b
11
，b
12
，…，b
1,2n
)
T
，(b
21
，b
22
，…，b
2,2n
)
T
，…，(b
n1
，b
n2
，…，b
n,2n
)
T
为方程组(I)的基础解系，所以该向量 组线性无关，故r(B)=n，从而方程组(Ⅱ)的基础解系解向量的个数为2n－n=n． 又由于方程组(I)的未知数的个数为2n，基础解系解向量的个数为n，所以方程组(I)的系数矩阵的秩r(A)=n，于是A的n个行向量的转置是线性无关的，从而构成方程组(Ⅱ)的一个基础解系，于是方程组(Ⅱ)的通解为 y=k
1
(a
11
，a
12
，…，a
1,2n
)
T
+k
2
(a
21
，a
22
，…，a
2,2n
)
T
+…+k
n
(a
n1
，a
n2
，…，a
n,2n
)
T
， 其中k
1
，k
2
，…，k
n
为任意常数．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/rJD4777K
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考研数学三
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