（Ⅰ）验证函数y（x）=（—∞＜x＜+∞）满足微分方程y"+y’+y=ex；（Ⅱ）求幂级数y（x）=的和函数。

admin2017-01-21 50

问题（Ⅰ）验证函数y（x）=

（—∞＜x＜+∞）满足微分方程y"+y’+y=e^x；
（Ⅱ）求幂级数y（x）=

的和函数。

选项

答案（Ⅰ）因为幂级数 [*] 的收敛域是（—∞＜x＜+∞），因而可在（一∞＜x＜+∞）上逐项求导数，得 [*] （Ⅱ）与y"+y’+y=e^x对应的齐次微分方程为y"+y’+y=0，其特征方程为λ²+λ+1=0，特征根为λ_1，2=[*] 因此齐次微分方程的通解为 [*] 设非齐次微分方程的特解为y^*=Ae^x，将y^*代入方程y"+y’+y=e^x可得 [*] 因此，方程通解为 [*] 当x=0时，有 [*]

解析

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考研数学三

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函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式证明：当x≥0时，成立不等式e-x≤f(x)≤1．
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