设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=－2，f’(0)=1，f"(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有目仅有一个根．

admin2018-11-22 50

问题设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=－2，f’(0)=1，f"(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有目仅有一个根．

选项

答案因为f"(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)=1．当x＞0时，f(x)－f(0)=f’(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为[*][f(0)+x]=+∞，所以[*]f(x)=+∞．由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=－2＜0，[*]f(x)=+∞，则f(x)=0在(0，+∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．

解析

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