设n维向量α1，α2，…，αs，下列命题中正确的是

admin2020-03-01 47

问题设n维向量α₁，α₂，…，α_s，下列命题中正确的是

选项 A、如果α₁，α₂，…，α_s线性无关，那么α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_s-1＋α_s，α_s＋α₁也线性无关．
B、如果α₁，α₂，…，α_s线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关．
C、如果α₁，α₂，…，α_s线性相关，A是m×n非零矩阵，那么Aα₁，Aα₂，…，Aα_s也线性相关．
D、如果α₁，α₂，…，α_s线性相关，那么α_s可由α₁，α₂，…，α_s-1线性表出．

答案C

解析选项A：当s为偶数时，命题不正确．例如，α₁＋α₂，α₂＋α₃，α₃＋α₄，α₄＋α₁线性相关．
选项B：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系．
例如，α₁，α₂，…，α_s与α₁，α₂，…，α_s，0等价，但后者必线性相关．
选项C：因为(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)＝A(α₁，α₂，…，α_s)，于是
r(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)＝r[A(α₁，α₂，…，α_s)]≤r(α₁，α₂，…，α_s)＜s，
所以，Aα₁，Aα₂，…，Aα_s必线性相关．故应选C．

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考研数学二

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