2. 考研
  3. 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．

设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．

admin2019-05-08  48
问题 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则(    )．
选项 A、λE－A=λE－B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A与B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t，tE－A与tE－B相似
答案D
解析 解一  因A与B相似，则相似矩阵的多项式仍然相似．对任意常数t，tE一A与tE一B可看成相似矩阵A与B的一次矩阵多项式．由命题2．5．3．1知，必有tE－A～tE－B．仅(D)入选．
    解二  因A与B相似，存在可逆矩阵P，使P－1AP=B，进而对任意常数t，有
                P－1(tE-A)P=P－1tEP－P－1AP=tE－B．
因而对任意常数t，tE－A与tE－B相似．仅(D)入选．
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考研数学三

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